9.18淑芬（B1）笔记

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Stolz定理

∗∞\frac{*}{\infty}型StolzStolz定理

设an+1−anbn+1−bn=A∈Rcn=an−Abncn+1−cnbn+1−bn=(an+1−Abn+1)−(an−Abn)bn+1−bn=an+1−anbn+1−bnA→0故有anbn=cnbn+A故不妨设A=0对任给ϵ>0,∃一个正整数N1,使得当n≤N1时，有−ϵ<aN1+1−aN1bN1+1−bN1<ϵ⋯−ϵ<an−an−1bn−bn−1<ϵ设\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=A\in\mathbb{R} \\ c_n=a_n-Ab_n \\ \frac{c_{n+1}-c_n}{b_{n+1}-b_n}=\frac{(a_{n+1}-Ab_{n+1})-(a_n-Ab_n)}{b_{n+1}-b_n} =\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}A \rightarrow 0 \\ 故有 \frac{a_n}{b_n}=\frac{c_n}{b_n}+A \\ 故不妨设A=0 \\ 对任给\epsilon >0,\exist 一个正整数N_1,使得 \\ 当n\leq N_1时，有-\epsilon <\frac{a_{N_1+1}-a_{N_1}}{b_{N_1+1}-b_{N_1}}<\epsilon \\ \cdots \\ -\epsilon < \frac{a_{n}-a_{n-1}}{b_{n}-b_{n-1}}<\epsilon \\

−ϵ<an−aN1bn−bN1<ϵ−ϵ(bn−bN1)<an−aN1<ϵ(bn−bN1)所以存在一个正整数N≥N1,使得当n>N时，−2ϵ<anbn<2ϵ所以lim⁡n→∞anbn=0-\epsilon < \frac{a_n-a_{N_1}}{b_n-b_{N_1}}< \epsilon \\ -\epsilon(b_n-b{N_1})<a_n-a_{N_1} <\epsilon(b_n-b_{N_1}) \\ 所以 存在一个正整数N\geq N_1,使得当n >N时，-2\epsilon<\frac{a_n}{b_n}<2\epsilon \\ 所以\lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{b_n}=0

A=+∞对任给M>0,∃N1,使得an+1−anbn+1−bn>M则当n>N1时,有an−aN1bn−bN1>Manbn>aN1bn+M(1−bN1bn)>M=−所以，存在一个正整数N>N1,使得当n>N时anbn>M2所以lim⁡n→∞anbn=+∞A=+\infty 对任给M>0, \exist N_1,使得\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}>M \\ 则当n>N_1时, 有 \frac{a_{n}-a_{N_1}}{b_{n}-b_{N_1}}>M \\ \frac{a_n}{b_n}>\frac{a_{N_1}}{b_{n}}+M(1-\frac{b_{N_1}}{b_n})>M \\=- 所以，存在一个正整数N>N_1,使得当n>N时 \frac{a_n}{b_n}>\frac{M}{2} \\ 所以\lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{b_n}=+\infty

00\frac00型StolzStolz定理

{bn}严格减−ϵ<an−an+1bn−bn+1<ϵ则m>n>N时,有：−ϵ<an−ambn−bm<ϵ固定n，令m→+∞后，−ϵ≤anbn≤ϵ\{b_n\}严格减 -\epsilon <\frac{a_{n}-a_{n+1}}{b_{n}-b_{n+1}}<\epsilon \\ 则m>n>N时,有：-\epsilon<\frac{a_{n}-a_{m}}{b_{n}-b_{m}}<\epsilon \\ 固定n，令m\to+\infty 后，-\epsilon\leq\frac{a_n}{b_n}\leq\epsilon