P50 第1题
(2)
f(x)在x∈(−∞,−1)∪(−1,+∞)有定义,当x>−1时,对任意给定的ϵ>0,解不等式∣∣∣∣∣x+1x−1−1∣∣∣∣∣=x+12<ϵ得x>ϵ2−1取X=ϵ2−1,当x>X>−1时,有∣∣∣∣∣x+1x−1−1∣∣∣∣∣<ϵ,故x→+∞lim∣∣∣∣∣x+1x−1∣∣∣∣∣=1同理,当x<−1时,对任意给定的ϵ>0,解不等式∣∣∣∣∣x+1x−1−1∣∣∣∣∣=−x+12<ϵ得x<−ϵ2−1取X=−ϵ2−1,当x<X<−1时,有∣∣∣∣∣x+1x−1−1∣∣∣∣∣<ϵ,故x→−∞lim∣∣∣∣∣x+1x−1∣∣∣∣∣=1综上,x→∞lim∣∣∣∣∣x+1x−1∣∣∣∣∣=1
(4)
f(x)在x∈(0,+∞)有定义,当x>0时,∀ϵ>0,解不等式xq1<ϵ由于q∈N+,得x<ϵq取X=ϵq,当0<x<X时,有xq1<ϵ,故x→0+limx1/q=0
P50 第2题
(2)
由n∈N+,知x∈(0,1)∪(1,+∞)x→1limx−1xn−1=x→1lim(1+x+x2+⋯+xn−1)=1+1+1+⋯+1=n故x→1limx−1xn−1=n
(4)
x→∞lim(5x−1)90(3x+6)70(8x−5)20=x→∞lim(5−x1)90(3+x6)70(8−x5)20=590370⋅820综上,x→∞lim(5x−1)90(3x+6)70(8x−5)20=590260⋅370
P50 第4题
x→+∞limf(x)=l⇒∀ϵ>0,∃X>0使∀x>X,∣f(x)−l∣<ϵ令N=k,其中k为使ak>X时最小的k∀n>N,an>X⇒∣f(an)−l∣<ϵ故有n→∞limf(an)=l
P50 第5题
(2)
f(x)=⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧1,0,−1,x>0x=0x<0x→0+limf(x)=x→0+lim1=1x→0−limf(x)=x→0−lim−1=−1x→0+limf(x)=x→0−limf(x)综上,x→0+limf(x)=1,x→0−limf(x)=−1,x→0limf(x)不存在
(4)
f(x)={cosx1,x,x>0x≤0x→0−limf(x)=x→0−limx=0下证x→0+limf(x)=x→0+limcosx1不存在:假设x→0+limcosx1=k取数列an=2nπ1,f(an)=cos2nπ=1⇒n→∞limf(2nπ1)=1由数列与函数极限的关系可知k=1取数列bn=(2n+1)π1,f(an)=cos(2n+1)π=−1⇒n→∞limf((2n+1)π1)=−1由数列与函数极限的关系可知k=−1,矛盾故x→0+limf(x)=x→0+limcosx1不存在综上,x→0+limf(x)不存在,x→0−limf(x)=0,x→0limf(x)不存在