9月22日数学分析（B1）作业

发表于 分类于 ， 阅读次数： 本文字数： 700 阅读时长 ≈ 3 分钟

P53 第14题

f(x)为周期函数  ⟹  ∃T>0使f(x+T)=f(x)∀x∈R成立假设f(x)不恒等于0  ⟹  ∃x0,使f(x0)≠0又f(x+T)=f(x)  ⟹  f(x0+nT)=f(x0)∀n∈N成立设an=x0+nT,n∈Nlim⁡x→∞f(x)=0  ⟹  lim⁡n→∞f(an)=0又f(an)=f(x0+nT)=f(x0)≠0  ⟹  lim⁡n→∞f(an)=f(a0)≠0,矛盾。故假设不成立，综上，f(x)≡0f(x)为周期函数\implies \exists T>0 使f(x+T)=f(x)\forall x\in\mathbb{R}成立 \\ 假设f(x)不恒等于0\implies \exists x_0, 使f(x_0)\neq 0 \\ 又f(x+T)=f(x)\implies f(x_0+nT)=f(x_0)\forall n\in\mathbb{N}成立 \\ 设a_n=x_0+nT, n\in\mathbb{N} \\ \lim_{x \to \infty}f(x)=0\implies \lim_{n \to \infty}f(a_n)=0 \\ 又f(a_n)=f(x_0+nT)=f(x_0)\neq 0\implies \lim_{n \to \infty}f(a_n)=f(a_0)\neq 0, 矛盾。 \\ 故假设不成立，综上，f(x)\equiv 0

P53 第15题

(1)

先证必要性：当lim⁡x→x0−f(x)=l时，设lim⁡n→∞an=x0{an}单调递增  ⟹  x0是an的上确界  ⟹  an<x0∀n∈N成立因为lim⁡x→x0−f(x)=l,∀ε>0,∃δ>0，当x0−δ<x<x0时，有∣f(x)−l∣<εlim⁡n→∞an=x0且an<x0  ⟹  对于上述δ>0，存在一个自然数N，使得当n>N时，有x0−δ<an<x0，所以当n>N时，∣f(an)−l∣<ε,即lim⁡n→∞f(an)=l再证充分性：假设当x→x0−时，f(x)不以l为极限,那么一定有一个ε0>0,使得对于任何一个δ>0都能找到一个xδ即使x0−δ<xδ<x0,仍有∣f(xδ−l)∣≥ε0因此取δn=1n(n=1,2,…),对应每一个这样的δn,都可找到an,使得：x0−1n<an<x0,但∣f(an)−l∣≥ε0当n→∞时,上面第一个不等式说明lim⁡n→∞an=x0,第二个不等式说明lim⁡n→∞{f(an)}≠l,矛盾故lim⁡x→x0−f(x)=l先证必要性：当\lim_{x \to x_0^-}f(x)=l时，设\lim_{n \to \infty}a_n=x_0 \\ \{a_n\}单调递增\implies x_0是a_n的上确界 \implies a_n<x_0\forall n\in\mathbb{N}成立 \\ 因为\lim_{x \to x_0^-}f(x)=l,\forall \varepsilon>0,\exists \delta>0 ，当x_0-\delta<x<x_0时，有\left\vert f(x)-l \right\vert <\varepsilon \\ \lim_{n \to \infty}a_n=x_0且a_n<x_0 \implies 对于上述\delta>0 ，存在一个自然数N，使得当n>N时，有x_0-\delta<a_n<x_0， \\ 所以当n>N时，\left\vert f(a_n)-l \right\vert <\varepsilon , 即 \\ \lim_{n \to \infty}f(a_n)=l \\ 再证充分性：假设当x\to x_0^- 时，f(x)不以l为极限, \\ 那么一定有一个\varepsilon_0>0,使得对于任何一个\delta>0都能找到一个x_\delta 即使x_0-\delta<x_\delta<x_0,仍有\left\vert f(x_\delta-l) \right\vert \ge \varepsilon_0 \\ 因此取\delta_n=\frac{1}{n}(n=1,2, \ldots ),对应每一个这样的\delta_n, 都可找到a_n, 使得：\\ x_0-\frac{1}{n}<a_n<x_0,但\left\vert f(a_n)-l \right\vert \ge \varepsilon_0 \\ 当n\to \infty 时,上面第一个不等式说明\lim_{n \to \infty}a_n=x_0,\\第二个不等式说明\lim_{n \to \infty}\{ f(a_n) \}\neq l,矛盾 \\ 故\lim_{x \to x_0^-}f(x)=l

(2)

先证必要性：当lim⁡x→x0+f(x)=l时，设lim⁡n→∞an=x0{an}单调递减  ⟹  x0是an的下确界  ⟹  an>x0∀n∈N成立因为lim⁡x→x0+f(x)=l,∀ε>0,∃δ>0，当x0<x<x0+δ时，有∣f(x)−l∣<εlim⁡n→∞an=x0且an<x0  ⟹  对于上述δ>0，存在一个自然数N，使得当n>N时，有x0<an<x0+δ，所以当n>N时，∣f(an)−l∣<ε,即lim⁡n→∞f(an)=l再证充分性：假设当x→x0+时，f(x)不以l为极限,那么一定有一个ε0>0,使得对于任何一个δ>0都能找到一个xδ即使x0<xδ<x0+δ,仍有∣f(xδ−l)∣≥ε0因此取δn=1n(n=1,2,…),对应每一个这样的δn,都可找到an,使得：x0<an<x0+1n,但∣f(an)−l∣≥ε0当n→∞时,上面第一个不等式说明lim⁡n→∞an=x0,第二个不等式说明lim⁡n→∞{f(an)}≠l,矛盾故lim⁡x→x0+f(x)=l先证必要性：当\lim_{x \to x_0^+}f(x)=l时，设\lim_{n \to \infty}a_n=x_0 \\ \{a_n\}单调递减\implies x_0是a_n的下确界 \implies a_n>x_0\forall n\in\mathbb{N}成立 \\ 因为\lim_{x \to x_0^+}f(x)=l,\forall \varepsilon>0,\exists \delta>0 ，当x_0<x<x_0+\delta时，有\left\vert f(x)-l \right\vert <\varepsilon \\ \lim_{n \to \infty}a_n=x_0且a_n<x_0 \implies 对于上述\delta>0 ，存在一个自然数N，使得当n>N时，有x_0<a_n<x_0+\delta， \\ 所以当n>N时，\left\vert f(a_n)-l \right\vert <\varepsilon , 即 \\ \lim_{n \to \infty}f(a_n)=l \\ 再证充分性：假设当x\to x_0^+ 时，f(x)不以l为极限, \\ 那么一定有一个\varepsilon_0>0,使得对于任何一个\delta>0都能找到一个x_\delta 即使x_0<x_\delta<x_0+\delta,仍有\left\vert f(x_\delta-l) \right\vert \ge \varepsilon_0 \\ 因此取\delta_n=\frac{1}{n}(n=1,2, \ldots ),对应每一个这样的\delta_n, 都可找到a_n, 使得：\\ x_0<a_n<x_0+\frac{1}{n},但\left\vert f(a_n)-l \right\vert \ge \varepsilon_0 \\ 当n\to \infty 时,上面第一个不等式说明\lim_{n \to \infty}a_n=x_0,\\第二个不等式说明\lim_{n \to \infty}\{ f(a_n) \}\neq l,矛盾 \\ 故\lim_{x \to x_0^+}f(x)=l